函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(12+x)=f(12-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=（　　）A．2009B．1C．0D．-1 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：单选题难度：简单来源：不详

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(

+x)=f(

-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=（　　）

A．2009

B．1

C．0

D．-1

答案

因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
又f(

+x)=f(

-x)，所以f（1）=f（0）=0，且f[

+ (

+x)]=f[

+x)]，
则f（x+1）=f（-x）=-f（x），
所以f（x+2）=-f（x+1），即f（x+1）=-f（x+2），
所以f（x+2）=f（x），即f（x）是以2为周期的函数，
因此f（1）=f（2）=f（3）=…=f（2009）=0，
所以f（1）+f（2）+…+f（2009）=0，
故选C．

核心考点

试题【函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(12+x)=f(12-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=（　　）A．2009B．1C．0D．-1】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义在R上的函数f（x）对任意实数x满足f（x+1）=f（-x-1）与f（x+1）=f（x-1），且当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则（　　）

A．f(sin

)＜f(cos

)

B．f(sin

)＜f(cos

)

C．f(sin

)＞f(cos

)

D．f（sin1）＜f（cos1）

题型：单选题难度：简单| 查看答案

已知函数f（x）=ax+

+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+

+…+

＞ln（n+1）+

2(n+1)

（n≥1）．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=

ax+1，-1≤x＜0

bx+2

x+1

，0≤x≤1

其中a，b∈R．若f(

)=f(

)，
则a+3b的值为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

9x+1

，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若

，

．
（1）求证：x与y的关系为y=

x+1

；
（2）设f(x)=

x+1

，定义函数F(x)=

f(x)

-1(0＜x≤1)，点列P_i（x_i，F（x_i））（i=1，2，…，n，n≥2）在函数F（x）的图象上，且数列{x_n}是以首项为1，公比为

的等比数列，O为原点，令

OP1

OP2

+…+

OPn

，是否存在点Q（1，m），使得

⊥

？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设函数G（x）为R上偶函数，当x∈[0，1]时G（x）=f（x），又函数G（x）图象关于直线x=1对称，当方程G(x)=ax+

在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围．

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