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题目
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0,1]上单调递增,那么,下列关于此函数f(x)性质的表述:
①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称; 
②函数y=f(x)是周期函数;
③当x∈[-3,-2]时,f′(x)≥0; ④函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点.  
其中正确表述的番号是______.
答案
令x=-1,则f(-1+2)=f(-1)+f(1),又f(-1)=f(1)
∴f(1)=2f(1),∴f(1)=0
∴f(x+2)=f(x)
∴函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为2,②正确;
再将上式中的x替换为x-1,得f(x+1)=f(x-1)=f(1-x)
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,①正确;
∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减,
又函数的周期为2,∴函数f(x)在区间[-3,-2]上单调递减,此时f′(x)≤0,③错误;
∵函数f(x)在一个周期[-1,1]上有且只有一个零点x=0,且函数周期为2,∴x=0+2k,k∈Z均为函数的零点,④正确
故答案为①②④
核心考点
试题【已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0,1]上单调递增,那么,下列关于此函数f(x)性质的表述:①函数y=f(x)的图】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)
,(a>0且a≠1)
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)讨论f(x)的单调性.
(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
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已知对于任意非零实数m,不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-
2
x
)恒成立,则实数x的取值范围是______.
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已知定义域为(-2,2)的奇函数y=f(x)是增函数,且f(a-3)+f(9-2a)>0,求a的取值范围.
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下列四个命题中
①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;
③函数y=
x2+4


x2+3
的最小值为2
其中假命题的为______(将你认为是假命题的序号都填上)
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已知函数f(x)=
x2+ax+11
x+1
(a∈R),若对于任意的X∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是______.
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