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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=xlnx,
∴f"(x)=lnx+1,…(1分)
x∈(0,
1
e
),f′(x)<0,f(x)
单调递减,
x∈(
1
e
,+∞),f′(x)>0,f(x)
单调递增,…(3分)
0<t<t+2<
1
e
,没有最小值;  …(4分)
0<t<
1
e
<t+2
,即0<t<
1
e
时,f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
;…(5分)
1
e
≤t<t+2
,即t≥
1
e
时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt…(6分)
所以f(x)min=





-
1
e
,0<t<
1
e
.
tlnt,t≥
1
e
…(7分)
(2)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+
3
x
,…(9分)
h(x)=2lnx+x+
3
x
(x>0)

h′(x)=
(x+3)(x-1)
x2
,…(10分)
①x∈(0,1),h"(x)<0,h(x)单调递减,
②x∈(1,+∞),h"(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(1)=4,
对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
∵g(x)=-x2+ax-3.所以a≤h(x)min=4;…(13分)
核心考点
试题【已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数,且f(1)>1,f(2)=a,则a的范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且f(x)=-f(x+2),当0≤x≤2时,f(x)=
x
2
,若已知n∈Z,则使f(x)=-
1
2
成立的x的值为(  )
A.2nB.2n-1C.4n+1D.4n-1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-cosx,则f(-0.5),f(0),f(0.6)的大小关系是(  )
A.f(0)<f(-0.5)<f(0.6)B.f(-0.5)<f(0.6)<f(0)
C.f(0)<f(0.6)<f(-0.5)D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2+
2a
x
,若f(-2)=3,则不等式f(x2-3x)≥3的解集为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log(x+1),则f(-2001)+f(2012)(  )
A.1+log23B.-1+log23C.-1D.1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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