题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=xlnx，
∴f"（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增，…（3分）
①0＜t＜t+2＜

1

e

，没有最小值；  …（4分）
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；…（5分）
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt…（6分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

…（7分）
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，…（9分）
设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，
则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，…（10分）
①x∈（0，1），h"（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h"（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∵g（x）=-x²+ax-3．所以a≤h（x）_min=4；…（13分）