| 已知函数F（x）=2x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若不等式g（2x）+ah（x）≥0对∀x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是______． |
由F（x）=g（x）+h（x）即2x=g（x）+h（x）①，得2-x=g（-x）+h（-x），
又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以2-x=g（x）-h（x）②，
联立①②解得，g（x）=，h（x）=．
g（2x）+ah（x）≥0，即+a•≥0，也即（22x+2-2x）+a（2x-2-x）≥0，即（2x-2-x）2+2+a（2x-2-x）≥0，
令t=2x-2-x，∵x∈[1，2]，∴t∈[，]，则不等式变为t2+2+at≥0，
所以不等式g（2x）+ah（x）≥0对∀x∈[1，2]恒成立，等价于t2+2+at≥0对t∈[，]恒成立，也即a≥-t-对t∈[，]恒成立，
令y=-t-，t∈[，]，则y′=-1+=＜0，所以y=-t-在[，]上递减，
所以ymax=--=-，所以a≥-．
故答案为：a≥-． |
核心考点
试题【已知函数F（x）=2x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若不等式g（2x）+ah（x）≥0对∀x∈[1，2]恒成】；主要考察你对
函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 已知函数f（x）=ax+ka-x，其中a＞0且a≠1，k为常数，若f（x）在R上既是奇函数，又是减函数，则a+k的取值范围是______． |
已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围． |
关于函数f（x）=的周期，下列说法正确的是（ ）| A．不存在周期 | | B．周期是不为0的任意有理数 | | C．周期是任意实数 | | D．存在最小正周期 |
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| 已知函数f(x)=在x=1处连续，则实数a的值为 ______． |
已知函数f(x)=ex+(a∈R)（其中e是自然对数的底数）
（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；
（3）设函数ϕ(x)=(x2-3x+3)[f(x)+f′(x)]，求证：对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足=(t-1)2，并确定这样的x0的个数． |
