题目

题型：解答题难度：困难来源：0103 期末题

对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f(x)（x∈D）叫闭函数。
（1）判断函数，x∈[-2，2]是否为闭函数？并说明理由；
（2）判断函数y=x²-2kx+k+1，x∈[k，+∞)是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围。

答案

解：（1）函数在x∈[-2，2]上单调递增，且f(-2)=-2，f(2)=2，所以是闭函数。
（2）函数在[k，+∞)上单调递增，
所以，如果为闭函数，则有，
即方程在[k，+∞)上有两个不等的实根，
，得。