题目

题型：解答题难度：困难来源：江苏高考真题

已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，其中λ是大于0的常数，设实数a₀，a，b满足f（a₀）=0和b=a-λf（a）。
（1）证明λ≤1，并且不存在b₀≠a₀，使得f（b₀）=0；
（2）证明（b-a₀）²≤（1-λ²）（a-a₀）²；
（3）证明[f（b）]²≤（1-λ²）[f（a）]²。

答案

解：（1）不妨设，由
可知
∴f（x）是R上的增函数
∴不存在，使得
又∵
∴。
（2）要证：，即证
（*）
不妨设
由得
，即
则 ①
由得
即
则②
由①②可得
∴；
（3）因为
∴
∵
又由（2）中结论
∴。