题目

题型：解答题难度：困难来源：0115 期末题

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为“友谊函数”。
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由；
（3）已知f（x）为“友谊函数”，且0≤x₁＜x₂≤1，求证：f（x₁）≤f（x₂）。

答案

解：（1）取，
又由f（0）≥0，
得f（0）=0；
（2）显然在[0，1]上满足①0；②；
③若，
则有，
故满足条件①﹑②﹑③，
所以为友谊函数。
（3）因为，
所以。