题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北省期末题

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

答案

解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），
高为．
故长方体的体积为V（x）=2（4.5﹣3x）=9﹣6x³（m³）．
从而V"（x）=18x﹣18（4.5﹣3x）=18x（1﹣x）．
令V"（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．
当0＜x＜1时，V"（x）＞0；
当1＜x＜时，V"（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．
从而最大体积V=V"（x）=9×1²﹣6×1³=3（m³），此时长方体的长为2m，高为1.5m．
答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m³．