题目

题型：解答题难度：一般来源：江苏月考题

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．

答案

解：如图所示，
（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；
则AB=2（其中0＜x＜30），
∴S=2x=2≤x²+（900﹣x²）=900，当且仅当x²=900﹣x²，
即x=15时，S取最大值900；
所以，取BC=cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm²．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，
则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜）；
∴S=AB●BC=2OB●BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，
即θ=时，S取最大值为900，此时BC=15；
所以，取BC=15时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm²．
（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，
由AB=2=2πr，得r=，
∴V=πr²h=（900x﹣x³），（其中0＜x＜30）；
由V′=（900﹣3x²）=0，得x=10；
因此V=（900x﹣x³）在上是增函数，在（10，30）上是减函数；
∴当x=10时，V的最大值为，
即取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm³．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，
则圆柱的底面半径为r=，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜），
所以V=πr²h=cos2θ=（sinθ﹣sin3θ），
设t=sinθ，则V=（t﹣t³），
由V′=（1﹣3t²）=0，得t=，
因此V=（t﹣t³）在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数；
所以，当t=时，即sinθ=，此时BC=10cm时，V有最大值，为cm³．