题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设二次函数 y=f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x），问是否存在这样的l（λ∈R），使f（x）在(-∞，-

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)内是减函数，在（-

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，0）内是增函数．

答案

（1）∵二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x²+c，
∵点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，
∴y²+1=（x+c）²+c，即（x²+c）²+1=（x+c）²+c，
c=1，
∴f（x）=x²+1；g（x）=（x²+1）²+1；
（2）假设存在λ，使得F（x）在（-∞，-

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)内是减函数，在（-

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，0）内是增函数，
而-

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是函数的一个极小值点，F（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1），
F′（x）=4x（x²+1）-2λx，∴F（-

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）=0，解得λ=3，
经检验知λ=3复合题意，
故λ=3．