题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（a^x）=x，g（x）=2log_a（2x+t-2），其中a＞0且a≠1，t∈R．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并指出其定义域；
（2）若t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，求实数a的值；
（3）已知0＜a＜1，当x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

答案

（1）令m=a^x，则x=log_am，则y=f（x）=log_ax，定义域为（0，+∞）；
（2）由题F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax=log_a

4x 2+8x+4

x

=og_a（4x+

4

x

+8），
∵4x+

4

x

+8≥16，等号当且仅当4x=

4

x

，即当x=1时成立
又F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，可得log_a16=2
故a²=16，a=4
（3）f（x）≥g（x），可得log_ax≥2log_a（2x+t-2），
又0＜a＜1，可得

x

≤2x+t-2，可得t≥

x

-2x+2=-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

由0＜a＜1，当x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立可得
t≥

x

-2x+2=-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

在x∈[1，2]恒成立
由于x=1时-2(

x

-

1

4

) 2+

17

8

取到最大值1
可得t≥1