题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+4x+3，
（1）若g（x）=f（x）-cx为偶函数，求c．
（2）用定义证明：函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数；并写出该函数的值域．

答案

（1）∵g（x）=f（x）-cx=x²+（4-c）x+3为偶函数
∴g（-x）=g（x）
∴（-x）²+（4-c）（-x）+3=x²+（4-c）x+3 …（2分）
∴4-c=-（4-c）     
∴c=4                    …（5分）
（2）证明：设-2≤x₁＜x₂ …（6分）
则f（x₂）-f（x₁）=x22 + 4x2+3-x12-4x1-3
=（x₁+x₂）（x₂-x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）…（8分）
∵-2≤x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0且x₁+x₂+4＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
故 f（x）在[-2，+∞）单调递增                   …（10分）
f（x）_min=f（-2）=-1
所以函数的值域为[-1，+∞）                       …（12分）