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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数a不为零),且同时满足下列条件:
(1)f(-1)=0;
(2)对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;
(3)当x∈(0,2)时有f(x)≤(
x+1
2
)2

①求f(1);
②求a,b,c的值;
③当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调函数,求m的取值范围.
答案
(1)当x=1时,由 f(1)-1≥0,且f(1)≤(
1+1
2
)
2
=1,∴f(1)=1.
(2)设二次函数为f(x)=ax2+bx+c,由f(-1)=0可得a-b+c=0,
而f(1)=1,∴a+b+c=1,解得b=
1
2
,a+c=
1
2

又f(x)-x≥0,∴ax2+bx+c-x≥0,化简得 ax2+(b-1)x+c≥0,
∴a>0且(b-1)2-4ac≤0,把 b=
1
2
,a+c =
1
2
,代入化简可得 (a-
1
4
)2 ≤ 0

a=
1
4
,c=
1
4

(3)由上可得 f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
,∴g(x)=f(x)-mx=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
-mx=
1
4
x2+(
1
2
-m)x+
1
4

因为函数g(x)在[-1,1]上单调可知,-
1
2
-m
1
4
≤-1,或-
1
2
-m
1
4
≥1,
解得m≤0,或m≥1.故m的取值范围是{m|m≤0,或m≥1}.
核心考点
试题【已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数a不为零),且同时满足下列条件:(1)f(-1)=0;(2)对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;(3】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足对任意的x>0,y>0,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(9)的值
(2)判断f(x)的单调性,并加以证明
(3)解不等式f(x)+f(x-8)<2.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且(x-1)f"(x)>0,若a=f(0),b=f(
1
2
),c=f(3)
,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义在R上的单调递增的函数f(x),满足f(2-a2)>f(a)则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=log
1
2


x2+2x-3
的单调递减区间是 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
f(x)=
x


1-x
,则f(-3)等于 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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