题目
题型:解答题难度:一般来源:浙江
函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
答案
(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),
则
即
∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.
当x<1时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤
.
因此,原不等式的解集为[-1,
].
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
①当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
②当λ≠-1时,对称轴的方程为x=
.
ⅰ)当λ<-1时,
≤-1,解得λ<-1.
ⅱ)当λ>-1时,
≥-1,解得-1<λ≤0.综上,λ≤0.
则
|
|
∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.
当x<1时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤
1 |
2 |
因此,原不等式的解集为[-1,
1 |
2 |
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
①当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
②当λ≠-1时,对称轴的方程为x=
1-λ |
1+λ |
ⅰ)当λ<-1时,
1-λ |
1+λ |
ⅱ)当λ>-1时,
1-λ |
1+λ |
核心考点
试题【函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.(Ⅲ)若h(x)=g】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y=
x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
1 |
2 |
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
(理)设a>0,a≠1为常数,函数f(x)=loga
(1)讨论函数f(x)在区间(-∞,-5)内的单调性,并给予证明;
(2)设g(x)=1+loga(x-3),如果方程f(x)=g(x)有实数解,求实数a的取值范围.
x-5 |
x+5 |
(1)讨论函数f(x)在区间(-∞,-5)内的单调性,并给予证明;
(2)设g(x)=1+loga(x-3),如果方程f(x)=g(x)有实数解,求实数a的取值范围.
若0<a,b,c<1,且满足ab+bc+ca=1,求
+
+
的最小值.
1 |
1-a |
1 |
1-b |
1 |
1-c |
定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面是关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数;
④f(2)=f(0).
其中正确的判断是______(把你认为正确的判断都填上).
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数;
④f(2)=f(0).
其中正确的判断是______(把你认为正确的判断都填上).
已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5是在区间(-∞,3)上的减函数,则a的取值范围是 ______.
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