题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅲ）判断函数f(x)=

3

4

x+

1

x

  (x＞0)是否为闭函数？并说明理由．

答案

（Ⅰ）如f（x）=x，[a，b]=[1，2]．
（Ⅱ）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，则

b=-a3 a=-b3 b＞a

，
解得

a=-1 b=1

．
所以，所求的区间为[-1，1]．
（Ⅲ）取x₁=1，x₂=10，则f(x1)=

7

4

＜

76

10

=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取x1=

1

10

，x2=

1

100

，f(x1)=

3

40

+10＜

3

400

+100=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数．
所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数．