题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+4x．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求实数a的值；
（II）若函数y=f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3-ax2+4x
∴f"（x）=x²-2ax+4（2分）
∵f′(1)=12-2a+4=tan

π

4

（4分）
∴a=2（6分）
（Ⅱ）∵函数y=f（x）在区间[0，2]上单调递增
∴x²-2ax+4≥0对一切x∈[0，2]恒成立
x=0时成立
当x∈（0，2]时，等价于不等式a≤

x2+4

2x

恒成立
令g(x)=

x2+4

2x

=

1

2

(x+

4

x

)≥

1

2

×2

x• 4 x

=2
当x=

4

x

⇒x=2时取到等号，所以g（x）_min=2
∴a≤2（12分）