题目

题型：解答题难度：一般来源：武汉模拟

已知函数f（x）=x|x²-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．

答案

（Ⅰ）∵a≤0，∴x²-a≥0，∴f（x）=x（x²-a）=x³-ax，
∴f^′（x）=3x²-a，
∵f^′（x）≥0对x∈R成立，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）当a=3时，f（x）=x|x²-3|=

3x-x3，当- 3 ＜x＜ 3 x3-3x，当x≤- 3 或x≥ 3

（i）当x＜-

3

，或x＞

3

时，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）＞0．
（ii）当-

3

＜x＜

3

时，f^′（x）=3-3x²=-3（x-1）（x+1）．
当-1＜x＜1时，f^′（x）＞0；
当-

3

＜x＜-1，或1＜x＜

3

时，f¢（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-

3

]，[-1，1]，[

3

，+∞）；
f（x）的单调递减区间是[-

3

，-1]，[1，

3

]．（8分）
由区间的定义可知，b＞0．
①若0＜b≤1时，则[0，b]Ì[-1，1]，因此函数f（x）在[0，b]上是增函数，
∴当x=b时，f（x）有最大值f（b）=3b-b³．
②若1＜b≤

3

时，f（x）=3x-x³在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，并且该极大值就是函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．
∴当x=1时，f（x）有最大值2．
③若b＞

3

时，当x∈[0，

3

]时，f（x）=3x-x³在[0，1]上单调递增，在[1，

3

]上单调递减，
因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，在x∈[

3

，b]时，f（x）=x³-3x在[

3

，b]上单调递增，
在x=b时，f（x）有最大值f（b）=b³-3b．
（i）当f（1）≥f（b），即2≥b³-3b，b³-b-2b-2≤0，b（b²-1）-2（b+1）≤0，（b+1）²（b-2）≤0，b≤2．
∴当

3

＜b≤2时，在x=1时，f（x）取到最大值f（1）=2．
（ii）当f（1）＜f（b），解得b＞2，
∴当b＞2时，f（x）在x=b时，取到最大值f（b）=b³-3b，
综上所述，函数y=f（x）在区间[0，b]上的最大值为y_max=

3b-b3，0＜b≤1 2，1＜b≤2，b3-3b，b＞2

．