题目

题型：解答题难度：一般来源：丰台区二模

已知函数f（x）=

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x3-ax2+b在x=-2处有极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=x²-2ax
由题意知：f′（-2）=4+4a=0，得a=-1，
∴f′（x）=x²+2x，
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），
单调递减区间是（-2，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

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3

x3+x2+b，
f（-2）=

4

3

+b为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．
∵函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，
∴

f(-3)≤0 f(0)＞0

或

f(3)≥0 f(-2)＜0

或

f(-3)＞0 f(3)＜0

或

f(-2)=0 f(3)＜0

或

f(-3)＞0 f(0)=0

，
即

18+b≥0 4 3 +b＜0

，
∴-18≤b＜-

4

3

，即b的取值范围是[-18，-

4

3

)．