题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x³+x（x∈R）．
（1）指出f（x）的奇偶性及单调性，并说明理由；
（2）若a、b、c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试判断f（a）+f（b）+f（c）的符号．

答案

（1）∵函数f（x）=x³+x的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（-x）=（-x）³+（-x）=-（x³+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=3x²+1＞0，∴f（x）在R上是增函数，
（2）由（1）得，
由a+b＞0得a＞-b，则f（a）＞f（-b）=-f（b），即f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，
即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．