题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

a

x

(x≠0，a∈R)
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）若a=1，证明：f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
（3）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f(-x)=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

)=-f(x)
故f（x）为奇函数（5分）
（2）a=1，则f(x)=x+

1

x

任取2≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)（8分）
∵2≤x₁＜x₂∴x₁x₂＞4，x₁-x₂＜0，（x₁x₂-1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，+∞）是增函数（10分）
（3）任取2≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-a)（12分）
要是函数f（x）在x∈[2，+∞）是增函数，必须使f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
即a＜x₁x₂恒成立（14分）
又∵x₁+x₂＞4，x₁x₂＞4∴a的取值范围是（-∞，4]（16分）