题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x^k+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是函数f（x）图象上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…是一系列正三角形，记它们的边长是a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，探求数列a_n的通项公式，并说明理由．

答案

（1）

2=4k+b 4=16k+b

⇒b=0，k=

1

2

⇒f(x)=

x

（2）g（x）=x²（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2
⇔

x-2≥0 x2+(x-2)2＞2ax+2

原问题等价于a＜x+

1

x

-2在x∈[2，+∞）恒成立，
利用函数y=x+

1

x

-2在区间[2，+∞）上为增函数，
可得a＜

1

2

；
（3）由

y= x y= 3 x

⇒x=

1

3

⇒a1=

2

3

，
由

y= x y= 3 (x-Sn-1)

⇒

3

x-

x

-

3

Sn-1=0⇒x=

1+6Sn-1+ 1+12Sn-1

6

，
将x代入an=2(x-Sn-1)=

1

3

+

1

3

1+12Sn-1

，
∴(an-

1

3

)2=

1

9

•(1+12Sn-1)且a1=

2

3

，
又(an+1-

1

3

)2=

1

9

•(1+12Sn)，
两式相减可得：(an+1-

1

3

)2-(an-

1

3

)2=

4

3

an⇒(an+1-

1

3

)2=(an+

1

3

)2⇒(an+1+an)(an+1-an-

2

3

)=0，
又，因为a_n＞0，所以an+1-an-

2

3

=0，
从而a_n是以

2

3

为首项，

2

3

为公差的等差数列，即an=

2n

3

．