题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax³+bx²-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）f"（x）=3ax²+2bx-1，…（2分）
依题意f"（1）=f"（2）=0，即

3a+2b-1=0 12a+4b-1=0

解得a=-

1

6

，b=

3

4

…（4分）
∴f(x)=-

1

6

x3+

3

4

x2-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，
即

1

6

x3-

3

4

x2-2x-m=0在[-2，0]上有两个不同的实数解   …（6分）
设φ（x）=

1

6

x3-

3

4

x2-2x-m，则φ′（x）=

1

2

x2-

3

2

x-2，…（8分）
由φ"（x）=0的x=4或x=-1
当x∈（-2，-1）时φ"（x）＞0，于是φ（x）在[-2，-1]上递增；
当x∈（-1，0）时φ"（x）＜0，于是φ（x）在[-1，0]上递减．…（10分）
依题意有

φ(-2)≤0 φ(-1)＞0 φ(0)≤0

⇔

m≥- 1 3 m＜ 13 12 m≥0

⇔0≤m≤

13

12

∴实数m的取值范围是0≤m＜

13

12

．…（13分）