题目

题型：解答题难度：一般来源：北京月考题

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．
（1）求f（0）；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）f（x）在[﹣2，1]上的值域．

答案

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=﹣x，得f（﹣x+x）=f（x）+f（﹣x）
即f（0）=f（x）+f（﹣x）
∴f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x）
因此f（x）为R上的奇函数，
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂﹣x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x₂﹣x₁）＞0
又∵f（x₂）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）﹣f（x₁）＞0，可得f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，f（﹣2）=2f（﹣1）=﹣4
∵f（x）为R上的增函数，
∴当﹣2≤x≤1时，f（﹣2）≤f（x）≤f（1），
即函数在[﹣2，1]上的值域为[﹣4，2]