题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(
1 |
2 |
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明;
(3)一个各项均为正数的数列{an}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n∈N*),其中Sn是数列{an}的前n项和,求{an}的通项公式.
答案
而令x=2,y=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴f(
1 |
2 |
(2)在(0,+∞)上任取两数x1,x2,且x1<x2,
令
x2 |
x1 |
∴f(x2)=f(kx1)=f(k)+f(x1)>f(x1)
∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.(8分)
(3)f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n∈N*)
=f(an)+f(an+1)+f(
1 |
2 |
=f[
an(an+1) |
2 |
由于f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,
∴Sn=
an(an+1) |
2 |
∴S n-1=
an-1(an-1+1) |
2 |
两式相减,有
| ||||
2 |
整理得(an+an-1)(a n-a n-1-1)=0
∵an>0,∴a n-a n-1-1=0,a n-a n-1=1,n≥2
所以数列{an}是公差为1的等差数列,
当n=1时,a1=S1=
a1(a1+1) |
2 |
∴an=n (14分)
核心考点
试题【设函数f(x)的定义域为(0,+∞)且对任意正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1且x>1时f(x)>0.(1)求f(12)的值】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并用单调性定义证明你的结论;
(3)设f(1)=1,若f(x)<(1-2a)m+2,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
A.3 | B.6 | C.7 | D.10 |
A.9~11 | B.7~9 | C.5~6 | D.3~5 |
|
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)若f(
1 |
2 |
(Ⅲ)若f(
1 |
2 |
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