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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+,有恒等式f(xy)=f(x)+f(y);且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)求证:当x∈R+时,恒有f(
1
x
)=-f(x)

(3)求证:f(x)在(0,+∞)上为减函数;
(4)由上一小题知:f(x)是(0,+∞)上的减函数,因而f(x)的反函数f-1(x)存在,试根据已知恒等式猜想f-1(x)具有的性质,并给出证明.
答案
(1)令x=y=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0
(2)证明:令y=
1
x
,则f(1)=f(x)+f(
1
x
),∴f(
1
x
)=-f(x)

(3)证明:设任意x,y∈R+,且x<y,
y
x
=a>1
则f(x)-f(y)=f(x)-f(x•a)=f(x)-f(x)-f(a)=-f(a)
∵当x>1时,f(x)<0
∴f(a)<0,-f(a)>0
∴f(x)>f(y)
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数
(4)猜想f-1(x)具有的性质,f-1(0)=1
证明:因为原函数与反函数关于直线y=x对称,
∵f(1)=0
∴f-1(0)=1
核心考点
试题【已知函数y=f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+,有恒等式f(xy)=f(x)+f(y);且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)求证:当】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数y=f(x)是定义在R+上的函数,并且满足下面三个条件:
(1)对任意正数x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y);
(2)当x>1时,f(x)<0;
(3)f(3)=-1,
(I)求f(1)、f(
1
9
)
的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.
(III)如果存在正数k,使不等式f(kx)+f(2-x)<2有解,求正数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率.(1)求a+b+c的值;(2)求
b
a
的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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(1)把y表示成x的函数;
(2)试确定,该宾馆将床价定为多少元时,既符合上面的两个条件,又能使净收入高?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)对于x>0有意义,且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数.
(1)证明f(1)=0;
(2)若f(x)+f(x-2)≥2成立,求x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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