题目

题型：单选题难度：简单来源：不详

已知函数满足且若对于任意的总有成立，则在内的可能值有（   ）个

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

B

解析

试题分析：：∵0＜a≤1，∴f（2）=2f（1）=2a，
①   当0＜a≤1/4时，0＜2a≤1/2，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此时f（4）=f（1）不成立；
②   当1/4＜a≤1/2时，1/2＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=[f(3)-1]/f(3)=﹙4a-1﹚/4a，
此时f（4）=f（1）⇔﹙4a-1﹚/4a=a⇔a=1/2；
③   当1/2＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=[f(2)-1]/f(2)=（2a-1)/2a≤1/2，
∴f（4）=2f（3）=（2a-1）/a，
此时f（4）=f（1）⇔（2a-1)/a=a⇔a=1；
综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
则a在（0，1]内的可能值有两个．故选B。
点评：中档题，本题综合考查分段函数的概念、函数等式恒成立问题、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．是一道不错的题目。