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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=x2-
1
3
x3

(1)求f(x)的解析式
(2)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性
(3)设g(x)是函数f(x)在区间(0,+∞)上的导函数.若a>1且g(x)在区间[
1
2
,a]
上的值域为[
1
a
,1]
,求a的值.
答案
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数∴f(0)=0(1分)
又∵x>0时,f(x)=x2-
1
3
x3

∴当x<0时-x>0f(x)=-f(-x)=-(x2+
1
3
x3)

f(x)=





x2-
1
3
x3(x≥0)
-x2-
1
3
x3(x<0)
(3分)

(2)由(1)知当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-
1
3
x3
,∴f"(x)=-2x-x2(4分)
令f"(x)=0得x=-2或x=0
当x∈(-∞,-2)时,f"(x)<0,f(x)是减函数
当x∈(-2,0)时,f"(x)>0,f(x)是增函数
∴f(x)在区间(-∞,-2)上是减函,数在(-2,0)上是增函数.(7分)

(3)∵当x>0时,f(x)=x2-
1
3
x3

∴g(x)=f"(x)=2x-x2=-(x-1)2+1
又∵a>1
∴g(x)在区间[
1
2
,a]
上,当x=1时g(x)取得最大值1.
1<a≤
3
2
时,g(x)min=g(
3
2
)=
3
4
,由
3
4
=
1
a
a=
4
3
∈(1,
3
2
]

a>
3
2
时,g(x)min=g(a)=2a-a2
2a-a2=
1
a
a=
1+


5
2
a=
1-


5
2
∉(
3
2
,+∞)
a=1∉(
3
2
,+∞)

∴所求的a的值为a=
4
3
或a=
1+


5
2
(12分)
核心考点
试题【已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=x2-13x3(1)求f(x)的解析式(2)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性(3)设g(x)是】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(3)求f(x)的值域;
(4)解不等式f(x)>
7
9
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=loga(x2+1)(a>1).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),(0<a<1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数值域是(0,+∞)的是(  )
A.y=x2-x+1B.y=log2xC.y=(
1
2
)x
D.y=x
1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=(
1
3
)x
,函数g(x)=log
1
3
x

(1)若函数y=g(mx2+2x+m)的值域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在非负实数m,n,使得函数y=g[f(x2)]的定义域为[m,n],值域为[2m,2n],若存在,求出m,n的值;若不存在,则说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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