题目

题型：单选题难度：简单来源：不详

已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　）

A．（1，+∞）

B．[1，+∞）

C．（2，+∞）

D．[2，+∞）

答案

（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=-lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）²＞4ab=4
∴a+b＞2
故选C．

（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：

0＜a＜1 1＜b ab=1

，
整理得线性规划表达式为：

0＜x＜1 1＜y xy=1

，

因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=-x+z，即求函数的截距最值．
根据导数定义，y=

1

x

⇒y′=-

1

x2

＜-1⇒函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
故选C．