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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(log2x)=ax2-2x+1-a,a∈R.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的值域;
(3)设h(x)=2-xf(x),a>0时,对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
a+1
2
成立,求a的取值范围.
答案
(1)令t=log2x,则x=2t
故f(t)=a(2t2-2•2t+1-a.
∴f(x)=a(2x2-2•2x+1-a,
(2)再设m=2x,则m>0,y=am2-2m+1-a,
①当a=0时,y=-2m+1(m>0),在(0,+∞)上是减函数,其值域为(-∞,1);
②当a>0时,y=am2-2m+1-a的对称轴m=
1
a
>0,
故其在(0,
1
a
)上是减函数,在(
1
a
,+∞)上是增函数.其值域为(-
1
a
+1-a,+∞);
③当a<0时,y=am2-2m+1-a的对称轴m=
1
a
<0,
故其在(0,+∞)上是减函数.其值域为(-∞,1-a);
(3)∵h(x)=a•2x+(1-a)2-x-2,
∴h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x
由h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x=0,得x0=
1
2
log2
1-a
a
(0<a<1).
由x0=
1
2
log2
1-a
a
>1得0<a<
1
5
,由x0=
1
2
log2
1-a
a
<-1,得a>
4
5

∵h(0)=-1,h(1)=
3
2
(a-1),
由f(1)>f(0),得
3
2
(a-1)>-1,得a>
1
3

①当0<a≤
1
5
时,h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x<0恒成立,函数h(x)在[-1,1]上是减函数,
∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(-1)=-
3
2
a,最小值是h(1)=
3
2
(a-1).
∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
a+1
2
成立,
∴-
3
2
a-
3
2
(a-1)≤
a+1
2
,∴a≥2.不合,舍去.
②当
1
5
<a≤
1
2
时,函数h(x)在[-1,x0]上是减函数,在(x0,1]上是增函数
∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(-1)=-
3
2
a,最小值是h(x0)=2


a(1-a)
-2.
∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
a+1
2
成立,
∴-
3
2
a-2


a(1-a)
+2≤
a+1
2

1
2
≥a≥
3
10

③当
1
2
<a≤
4
5
时,函数h(x)在[-1,x0]上是减函数,在(x0,1]上是增函数
∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(1)=
3
2
(a-1),最小值是h(x0)=2


a(1-a)
-2.
∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
a+1
2
成立,
3
2
(a-1)-2


a(1-a)
+2≤
a+1
2

1
2
<a≤
4
5

④当a>
4
5
时,h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x>0恒成立,函数h(x)在[-1,1]上是增函数,
∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(1),最小值是h(-1).
∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤
a+1
2
成立,
3
2
(a-1)+
3
2
a≤
a+1
2

∴a≤
4
5
.不合,舍去.
综上所述,a的取值范围为[
3
10
4
5
].
核心考点
试题【已知f(log2x)=ax2-2x+1-a,a∈R.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的值域;(3)设h(x)=2-xf(x),a>0时,对任意x1,x】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)的值域是[-
3
8
,-
7
32
]
,则函数g(x)=1-f(x)+


1+2f(x)
的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域为[-2,2],则函数F(x)=f(x-1)+f(x+1)的定义域为(  )
A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-1,3]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=x+1,x∈(0,3)的值域为A,函数y=


x-2
的定义域为B.在A中任取一个元素,求其属于B的概率(  )
A.
1
2
B.
1
3
C.0.3D.
2
3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设y,z>0,且a=
y
z


5-x
,b=
z
y


x+3
,记a,b中的最大数为M,则M的最小值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=


1+x
+
x
1-x
的定义域为(  )
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1)∪(1,+∞)D.R
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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