题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

1

x

（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断函数y=f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明．

答案

（1）要使函数有意义，则x≠0，
∴函数y=f（x）的定义域为{x|x≠0}；（4分）
（2）函数f(x)=x+

1

x

是奇函数，
证明：函数y=f（x）的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
所以函数f(x)=x+

1

x

（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））是奇函数；（8分）
（3）函数f(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．（12分）