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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知向量


m
=(


3
,1)
,向量


n
是与向量


m
夹角为
π
3
的单位向量.
(1)求向量


n

(2)若向量


n
与向量


q
=(-


3
,1)
平行,与向量


p
=(


3
x2,x-y2)
垂直,求t=y2+5x+4的最大值.
答案
(1)设


n
=(x,y),
∵向量


n
是单位向量,
∴x2+y2=1.
∵向量


n
与向量


m
夹角为
π
3

∴cos
π
3
=


3
x+y
2



3
x+y=1

解方程组





x2+y2=1


3
x+y=0

得x=0,y=1,或x=


3
2
,y=-
1
2



n
=(0,1),或


n
=(


3
2
,-
1
2
)

(2)∵


n
=(0,1)和向量


q
=(-


3
,1)
不平行,
∴向量


n
=(


3
2
,-
1
2
)

向量


n
与向量


q
=(-


3
,1)
平行,与向量


p
=(


3
x2,x-y2)
垂直,


3
2


3
x2+(-
1
2
) •(x-y2)=0

∴3x2-x+y2=0.
t=y2+5x+4
=(-3x2+x)+5x+4
=-3x2+6x+4,
因为-3x2+x>0
所以0<x<
1
3

所以当x=
1
3
时,t=-3x2+6x+4取最大值tmax=
17
3
核心考点
试题【已知向量m=(3,1),向量n是与向量m夹角为π3的单位向量.(1)求向量n;(2)若向量n与向量q=(-3,1)平行,与向量p=(3x2,x-y2)垂直,求t】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=
a•2x+a-2
2x+1
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)求函数的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域是(-1,+∞),值域是[0,+∞),在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.则f(x)的解析式可以是:f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=
x2-1
x2+1
的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
关于函数f(x)=x2+1-2x有下列命题:①方程f(x)=0的实数根共有2个;②函数y=f(x)在[0,4]上单调递增;③函数y=f(x)的最大值是f(3).其中正确命题的个数为(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=|1-
1
x
|,x>0

(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(2)是否存在实数a、b,(a<b),使得函数y=f(x)的定义域是[a,b],值域是[
1
5
a,
1
5
b]
,若存在,则求出a、b的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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