题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．

答案

当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．

解析

试题分析：证明：因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，

令，得（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：

		0
		极小值

从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当时，随的变化情况如下表：

		0
		极大值

从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
点评：解决的关键是能对于含有参数的函数的导数的符号进行分类讨论，得到结论，属于中档题。