题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB=？
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

答案

存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）

解析

方法一 假设存在实数a满足条件AB=，则有
（1）当A≠时，由ABB=，知集合A中的元素为非正数，
设方程x²+(2+a)x+1=0的两根为x₁,x₂,则由根与系数的关系，得

（2）当A=时，则有△=(2+a)²-4＜0，解得-4＜a＜0.
综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x²+(2+a)x+1=0的两实数根x₁,x₂至少有一个为正，
因为x₁·x₂=1＞0，所以两根x₁,x₂均为正数.
则由根与系数的关系，得解得
又∵集合的补集为∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.