题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

(12分)设集合A＝{x|x²－3x＋2＝0}，B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋(a²－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

答案

（1）a的值为－1或－3；
（2）a的取值范围是a≤－3.

解析

解：由x²－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}.
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，
得a²＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；
当a＝－1时，B＝{x|x²－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x²－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；
综上，a的值为－1或－3；
(2)对于集合B，
Δ＝4(a＋1)²－4(a²－5)＝8(a＋3).
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得
矛盾；
综上，a的取值范围是a≤－3.