题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

(本小题满分16分)
已知函数f(x)=x²-2ax+a+2，aÎR．
(1)若不等式f(x)<0的解集为Æ，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥a对于xÎ[0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）[-1，2]．（2）a≤．

解析

本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解，以及二次不等式的恒成立问题的综合运用。
（1）首先根据二次不等式的解集为空集，说明了判别式小于等于零，从而得到参数的取值范围。
（2）根据不等式f(x)≥a可化为x²-2ax+2≥0对于xÎ[0，+∞)恒成立，然后分析函数g(x)= x²-2ax+2，在给定区间的最小值即可。
解: (1)若不等式f(x)<0的解集为Æ，
则方程f(x)=0的判别式∆≤0，                         ··········· 2分
即∆=(-2a)²-4(a+2)≤0⇒a²-a-2≤0⇒-1≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[-1，2]．                     ··········· 7分
(2)不等式f(x)≥a可化为x²-2ax+2≥0对于xÎ[0，+∞)恒成立，
令g(x)= x²-2ax+2，函数g(x)的对称轴为x=a，(借助函数图象)········· 9分
当a≥0时，则只需g(a)= a²-2a²+2= -a²+2≥0
⇒－≤a≤，即0≤a≤；   ··················· 12分
当a<0时，则只需g(0)=2>0恒成立，此时a<0；         ··········· 14分
综上，实数a的取值范围为a≤．                    ·········· 16分
(注：第(2)小题也可以用分离参数的方法来求解)