题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知集合，其中，表示
的所有不同值的个数．
（1）已知集合，，分别求，；
（2）求的最小值．

答案

（1）l(P)＝5 ，l(Q)＝6     
（2）对这样的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值为2n－3．

解析

试题分析：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，
得l(P)＝5 
由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，
得l(Q)＝6     
（2）不妨设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得
a₁＋a₂＜a₁＋a₃＜…＜a₁＋a_n＜a₂＋a_n＜a₃＋a_n＜…＜a_n－1＋a_n，
故a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)中至少有2n－3个不同的数，即l(A)≥2n－3．
事实上，设a₁，a₂，a₃，…，a_n成等差数列，考虑a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)，根据等差数列的性质，当i＋j≤n时， a_i＋a_j＝a₁＋a_i＋j－1；当i＋j＞n时， a_i＋a_j＝a_i＋j－n＋a_n；
因此每个和a_i＋a_j(1≤i＜j≤n)等于a₁＋a_k(2≤k≤n)中的一个，或者等于a_l＋a_n(2≤l≤n－1)中的一个．故对这样的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值为2n－3．
点评：新定义问题，利用新定义集合确定，属于简单问题。而求的最小值的方法，则具有一定难度，特别是假设“排序”难以想到，这是解决问题的关键所在。