题目

题型：同步题难度：来源：

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OC=EF；
（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？并给出证明．

答案

证明：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠OCE，
∵MN∥BC，∴∠BCE=∠OEC，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，
同理，OC=OF，∴OC=OE=OF，故0C=EF；
（2）当点O位于AC边的中点时，四边形AECF是矩形．
由（1）知OE=OF，又O为AC边的中点，
∴OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECO=∠ACB，∠OCF=ACD，
∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴四边形AECF是矩形．