题目

题型：竞赛题难度：来源：

翻牌游戏：在一次数学课上，老师把54张扑克牌按照1、2、3、…、54的顺序进行编号后，背面朝上摆成一排．班里正好有54名同学，同样把这54名同学按照1、2、3、…、54的顺序进行编号．游戏规则是：编号为1的同学把扑克牌中编号为1的倍数的所有牌翻一次；编号为2的同学把扑克牌中编号为2的倍数的所有牌再翻一次；编号为3的同学把扑克牌中编号为3的倍数的所有牌也翻一次…直到最后一名54号同学把54号牌翻过来游戏结束．问：游戏结束后有几张扑克牌最后被翻成正面朝上？写出它们的编号并说明理由．

答案

解：一共有7张扑克牌最后被翻成正面朝上，编号为1、4、9、16、25、36、49．
理由：扑克牌最后是否被翻成正面朝上，主要看它被翻了几次，
如果被翻了偶数次则它仍然和原来一样，
如果它被翻了奇数次则它最后被翻成了正面朝上．
第n号牌是否被翻了过来，关键是看数字n的因数的个数是奇数还是偶数（包括1和它本身），
如：1只有一个因数1，
2有两个因数1、2，
3有两个因数1、3，
4有三个因数1、2、4，…不难判断，
凡是平方数的因数的个数都是奇数个，
因此编号为1、4、9、16、25、36、49的扑克牌最后被翻成正面朝上