题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E₁OF₁（如图2）。
（1）探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证：△AOE₁为直角三角形。

答案

解：（1）AE₁=BF₁，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OB=OD，
∴OE=OF，
∵△E₁OF₁是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，
∴OE₁=OF₁，
∵∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠E₁OA=90°-∠F₁OA=∠F₁OB，
在△E₁OA和△F₁OB中，
，
∴△E₁OA≌△F₁OB（SAS）
∴AE₁=BF₁；
（2）取OE₁中点G，连接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E₁OA=90°-α=60°，
∵OE₁=2OA，
∴OA=OG，
∴∠E₁OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE₁，
∴∠GAE₁=∠GE₁A=30°，
∴∠E₁AO=90°，
∴△AOE₁为直角三角形。