题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜α＜180°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。

答案

解：（1）连接BF（如图①），
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，AC=DE
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴∠BCF=∠BEF=90°，
∵BF=BF，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE，
∴CF=EF，
又∵AF+CF=AC，
∴AF+EF=DE；
（2）画出正确图形如图②，（1）中的结论AF+EF =DE仍然成立；
（3）不成立．此时AF、EF与DE的关系为AF-EF=DE，
理由：连接BF（如图③），
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，AC=DE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴∠BCF=∠BEF=90°，
又∵BF=BF，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE，
∴CF=EF，
又∵AF-CF=AC，
∴AF-EF=DE，
∴（1）中的结论不成立，正确的结论是AF-EF=DE。