题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

（1）阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围。
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连结BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4。
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF。
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明。
（3）问题拓展：
如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明。

答案

解：（1）①延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG。
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD）
∴CF=BG，DF=DG
∵DE⊥DF
∴EF=EG
在△BEG中，
BE+BG＞EG；
即BE+CF＞EF；
②若∠A=90°则∠EBC+∠FCB=90°
由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG
∴∠EBC+∠DBG=90°
即∠EBG=90°
∴在Rt△EBG中，
∴；
（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG，
∵∠C +∠ABD=180°，∠4=∠C
∴∠4+∠ABD=180°
∴点E、B、G在同一直线上
∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠1+∠2=60°
故∠2+∠3=60°即∠EDG=60°
∴∠EDF=∠EDG =60°
∵DE=DE，DF=DG
∴△DEG≌△DEF
∴EF=EG=BE+BG，
即EF=BE+CF。