题目

题型：不详难度：来源：

已知，如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AG⊥EF于G，EG=2，FG=3，求AG的边长．小萍同学灵活运用旋转的知识，将图形进行旋转变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）把△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，请在图中画出旋转后的图形；
（2）判断H、B、E三点是否在一条直线上，若在，请证明：△AEF≌△AEH；若不在，请说明理由；
（3）设AG=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

答案

（1）如图所示；


（2）根据旋转的性质，∠ABH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，
∴H、B、E三点在一条直线上，
由旋转的性质可知△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAH=45°，
即∠EAH=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
在△AEF和△AEH中，

AH=AF ∠EAH=∠EAF AE=AE

，
∴△AEF≌△AEH（SAS）；

（3）∵△AEF≌△AEH，
∴AB=AG（全等三角形对应边上的高相等）
在Rt△ABE和Rt△AGE中，

AE=AE AB=AG

，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE=EG=2，
同理DF=GF=3，
∴EC=x-2，FC=x-3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：（x-2）²+（x-3）²=5²，
整理得：x²-5x-6=0，
解这个方程得：x₁=6，x₂=-1（不合题意，舍去），
∴x的值为6，
即AG=6．