题目

题型：同步题难度：来源：

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处。
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）E（3，1）；F（1，2）；（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，所以EF=，
设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
因为顶点F（1，2），
所以设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+2（a≠0），
①如图1，当EF=PF时，EF²=PF²，
所以1²+（n-2）²=5，解得n₁=0（舍去），n₂=4，
所以P（0，4），
所以4=a（0-1）²+2，解得a=2，
所以抛物线的解析式为y=2（x-1）²+2；
②如图2，当EP=FP时，EP²=FP²，
所以（2-n）²+1=（1-n）²+9，解得n=-（舍去）；
③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在。
综上所述，符合条件的抛物线为y=2（x-1）²+2。

（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小。
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，
则点M、N就是所求，
所以E′（3，-1）、F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′，
所以BF′=4，BE′=3，
所以FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5，
又因为EF=，
所以FN+MN+ME+EF=5+，
此时四边形MNFE的周长最小值为5+。