题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB。
（1）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（2）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形，
理由如下：
如图：∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC，
过点A作抛物线C₁的对称轴，交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E，
当m=1时，顶点A的坐标为A（1，2），
∴CE=1，
又∵点C的坐标为（0，1），
∴AE=2-1=1，
∴AE=CE，从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°，
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形；（2）假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC，
由（1）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC，从而△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
四边形ABCP为菱形，
∴CP∥AB，
∴∠ACE=60°，
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+1），C（0，1），
∴AE=m²+1-1=m²，CE=m，
在Rt△ACE中，tan60°===，
故抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m=。