题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？

答案

解：（1）△BMP是等边三角形；
证明：连结AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，
∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP为等边三角形；
（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=，
∴b≥，
∴a≤b，
∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP。