题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。

答案

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1，
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN，
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°；（2）不能，
理由如下：
过M 点作AE⊥DN，垂足为点E，
则ME=AD=1，
由（1）知，∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵MK≥ME，ME=AD=1，
∴MK≥1，
又∵S_△MNK=，
即△MNK面积的最小值为，不可能小于；（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K与点D也重合，
设NK=MK=MD=x，则AM=5-x，
根据勾股定理，得1²+（5-x）²=x²，
解之，得x=2.6，
则MD=NK=2.6，S_△MNK=S_△MND=；
情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为AC，
设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，
同理可得，MK=AK=CK=2.6，
S_△MNK=S_△ACK=，
因此，△MNK的面积的最大值为1.3。