题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长。
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。

答案

解：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x，
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3，
∴BG=x-2，CG=x-3，
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，
化简得，x²-5x-6=0，
解得x₁=6，x₂=-1（舍），
所以AD=x=6。