题目

题型：湖北省月考题难度：来源：

在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交轴于点N（如图）。
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度θ；
（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论。

答案

解：（1）扫过的面积；
（2）连接AC ，
由MN//AC，可得△BMN为等腰直角三角形，
且AM=CN，可知△OAN≌△OCN，
∴∠AOM=∠CPN=θ==22.5°；
（3）延长BC至点D，使CD=AM，
可证△AOM≌△COD，
∴∠COD=∠AOM，而∠AOM+∠CON=45°
∴∠COD+∠CON=∠NOD=45°，
可证△MON≌△DON
∴MN=CD+CN
∴C_△BMN=BM+BN+MN
=BM+BN+CN+CD
=BM+AM+BN+CN
=AB+BC
=4
∴P的值不发生变化。