题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°。
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若半径ON⊥AD于点M，CE=，求图中阴影部分的面积。

答案

解：（1）连结OC、BC，
∵CD垂直平分OB，
∴OC=BC
∵OB=OC，
∴OB=OC=BC
∴△OCB是等边三角形
∴∠BOC=60°
∵∠CFO=30°，
∴∠OCE=90°
∴OC⊥CF
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线； （2）连结OD，
由（1）可得∠COF=60°，由圆的轴对称性可得∠EOD=60°，
∴∠DOA=120°
∵OM⊥AD，OA=OD，
∴∠DOM=60°
在Rt△COE中CE=，∠ECO=30°，cos∠ECO=，
∴OC=2
∴S_扇形OND=π，
∴S_△OMD=
∴S_阴影=S_扇形OND-S_△OMD=。