题目

题型：期中题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求∠P的度数；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。

答案

解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线。
（2）∵PC=AC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠P，
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°，
∴3∠P=90°，
∴∠P=30°。（3）∵点M是半圆O的中点，
∴∠BCM=45°，
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，
∴BC=AB=2，
作BD⊥CM于D，
∴CD=BD=，
∴DM=，
∴CM=，
 ∴S_△BCM=，
∵∠BOC=2∠A=60°，
∴弓形BmC的面积=，
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为。